模型論視角下對正規多元模態邏輯的闡述

摘要：本文對正規多元模態邏輯做了模型論視角的整體闡述。正規多元模態邏輯(PML)是對一元模態邏輯系統K,在n 元算子上的推廣。而多元模態邏輯的研究相對于一元邏輯較為匱乏。文獻中的一系列有關PML 的結果也被看作是有關K的結論的直接推廣,而缺少部分完整證明,且已有證明多為代數證明。PML 對于K 的推廣在某些方面是非平凡的,忽略這一點導致了一些教材及文章中甚至存在各種錯誤。從證明的角度上講,對于PML 的證明有時也需要不同的方法。基于以上幾點考慮,我們認為有必要從模型論視角對PML 做一個細致的考察,并給出一些模型論版本的證明,來簡化以往的代數證明,從而給研究者提供一個統一的參考。本文從兩個模態邏輯常用的模型構造方法(濾子和超濾擴張)出發,以經典教材中的定義為準,補全一些重要定理在多元語言下的模型論方法的詳細證明。然后我們對van-Benthem 刻畫定理的多元版本證明做了一個澄清,考察了多元語言和一元語言下證明的具體區別。最后我們用模型論方法證明了PML 具有插值性,而該定理在文獻中往往是被當作一些代數事實的推論。