高階Runge-Kutta-Li算法對二維線性平流方程的計算檢驗

摘要：利用高階Li空間微分方案(Li,2005),實現了時間積分為3~6階Runge-Kutta-Li(RKL)格式的求解算法。二維線性平流方程的試驗結果表明:在計算穩定的條件下,各階算法的計算誤差隨時間的推移基本上是線性增加的。非轉動背景場的平流算例中(高斯型的初值),高階RKL算法可以取得較好的計算效果。與3、4、5、6階RK算法配合的Li空間差分方案有效階數可以達到5、7、9、10階。RK算法的階數為5(6)階時,總誤差控制在10-7(10-8)以內。隨RK階數增加Li微分的有效階數有增加趨勢,且總誤差逐漸減小。定常轉速的背景場算例中(偏心的高斯型初值),當RK階數為3時,最優空間差分階數為10;相應的階數為4、5、6時對應的空間最優階為16,22,22,總計算誤差可以控制在10^-15~10^-16。隨著精度的提高,誤差的絕對值減小很迅速,說明算法是非常有效的。對于圓錐型初值(定常轉速的背景場),4、5、6階RK算法和3階算法的效果差不多。高階算法對此類具有導數不連續點的算例,效果不如高斯初始場好,結果不能保持正定,有些地方誤差出現下沖和上翹。隨著空間差分精度的提高,非正定的解數量和數值減小,誤差的絕對值減小,說明了算法在一定程度上是有效的,但并不適合追求極高的算法階數。這與譜方法中的導數不連續問題有些相似,誤差的產生主要源于導數的不連續性,差分類方法僅能獲得與導數連續性階數相當的算法精度。各種算例中,采用恰當的邊界條件是必要的,例如旋轉背景場算例,比較適合使用無窮遠邊界條件,否則會出現計算不穩定或無法將計算誤差控制到較小的范圍內。